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蒙特卡罗分析法

蒙特卡罗分析法(Monte Carlo method)(统计模拟法),是一种采用随机抽样(Random Sampling)统计来估算结果的计算方法。由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量,一般需要大量的样本数据,因此在没有计算机的时代并没有受到重视。

第二次世界大战时期,匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼(John von Neumann,1903.12.28—1957.02.08)(现代电子计算机创始人之一)在研究中子的实验中采用了随机抽样统计的手法,因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具,所以就形象地用摩洛哥的赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法。

利用蒙特卡罗分析法可用于估算圆周率:在边长为 2 的正方形内作一个半径为 1 的圆,正方形的面积等于 2×2=4,圆的面积等于 π×1×1=π,由此可得出,正方形的面积与圆形的面积的比值为 4:π。现在让我们用电脑或轮盘生成若干组均匀分布于 0-2 之间的随机数,作为某一点的坐标散布于正方形内,那么落在正方形内的点数 N 与落在圆形内的点数 K 的比值接近于正方形的面积与圆的面积的比值,即,N:K ≈ 4:π,因此,π ≈ 4K/N 。

用此方法求圆周率,需要大量的均匀分布的随机数才能获得比较准确的数值,这也是蒙特卡罗分析法的不足之处。

如今,蒙特卡罗分析法被应用于各个领域,如求解函数的定积分,运输流量分析,人口流动分析,股票市场波动的预测,量子力学分析等等。

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